Navier-Stokes: como a OpenAI pode ter resolvido um dos maiores desafios da matemática
A OpenAI apresentou uma solução para o problema de existência e suavidade das equações de Navier-Stokes. A prova, produzida por um sistema interno de IA, indica que as equações podem desenvolver uma singularidade em tempo finito.
As equações de Navier-Stokes descrevem matematicamente o movimento de fluidos incorporando velocidade, pressão e viscosidade. O problema do milênio pergunta se em três dimensões uma solução inicialmente suave pode permanecer suave para todo o tempo ou se pode desenvolver uma singularidade.
Essa questão permanece aberta há cerca de 90 anos e é difícil responder porque envolve a interação não linear entre diferentes escalas do escoamento. Com isso, ela é considerada como um dos Millennium Prize Problems que são problemas matemáticos ainda abertos selecionados pelo Clay Mathematics Institute.
A OpenAI anunciou uma prova, apresentada em um trabalho de 166 páginas, que afirma demonstrar que uma solução inicialmente suave das equações pode desenvolver uma singularidade em tempo finito. O argumento corresponde às formulações que pedem a demonstração de um cenário dessa singularidade.
As equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes são um conjunto de equações diferenciais parciais que descrevem o movimento de fluidos, como líquidos e gases. Elas expressam a conservação de massa e quantidade de movimento. A dinâmica é determinada pela interação entre termos de advecção, gradiente de pressão e difusão viscosa.
O desafio matemático surge principalmente do caráter não linear das equações, especialmente do termo convectivo. Em três dimensões, ainda não se sabe provar, para condições iniciais suaves, se as soluções permanecem regulares para todo o tempo ou se podem desenvolver uma singularidade em tempo finito.
Prêmio do milênio
O problema de existência e suavidade de Navier-Stokes questiona se as equações para um fluido incompressível tridimensional podem desenvolver uma singularidade em tempo finito. Nesse cenário, a velocidade do fluido poderia crescer sem limite em um intervalo finito, apesar da viscosidade, que tende a dissipar e suavizar o escoamento.
As equações foram desenvolvidas a partir dos trabalhos de Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes no século XIX. O que permanece em aberto é provar se as soluções continuam suaves para todo o tempo, ou se uma singularidade pode surgir.
Resultado
A OpenAI afirmou essa semana ter produzido uma prova analítica mostrando que um fluido inicialmente em repouso e com condições suaves pode desenvolver uma singularidade em tempo finito. O resultado demonstra um cenário em que a velocidade do fluido cresce sem limite, enquanto a energia permanece finita durante toda a evolução.
A singularidade surge em uma estrutura do tipo vórtice, que se concentra e se alonga progressivamente, fazendo com que a região central diminua enquanto a velocidade aumenta. Essa divergência não é causada por uma força externa: os próprios termos não lineares das equações tornam-se grandes e se cancelam de maneira precisa.
Como conseguiram chegar nesse resultado?
O resultado surgiu após a OpenAI iniciar, em 1º de setembro, uma avaliação de problemas matemáticos usando um sistema de agentes. No caso de Navier-Stokes, diferentes grupos receberam versões incluindo as formulações que exigem uma prova de regularidade e as que buscam demonstrar a existência de uma singularidade.
O grupo responsável pela solução envolveu cerca de 10 mil agentes simultâneos. Um passo decisivo ocorreu quando os agentes resolveram primeiro um problema relacionado às equações de Euler. A solução foi obtida em 5 de setembro, cerca de 88 horas após o início do experimento, e sua formalização e verificação em Lean exigiram mais 17 horas.