Por que Navier-Stokes é tão difícil? Entenda a matemática por trás delas em detalhes
As equações de Navier-Stokes estão entre os assuntos do momento após a OpenAI anunciar um resultado para um dos maiores problemas associados a elas. Mas por que essas equações são tão importantes e difíceis de resolver? Entenda como elas descrevem o movimento dos fluidos.
As equações de Navier-Stokes são equações que descrevem o movimento de fluidos, como líquidos e gases. Elas relacionam grandezas como velocidade, pressão, densidade e viscosidade com o momento. Elas permitem modelar desde escoamentos simples até sistemas altamente complexos.
A dificuldade matemática está em um termo chamado não linear que faz a velocidade do próprio fluido modificar sua evolução. Essa não linearidade permite a transferência de energia entre diferentes escalas e está diretamente relacionada à formação da turbulência, que é descrita por formação de vórtices.
Essa questão deu origem ao problema de existência e suavidade de Navier-Stokes, incluído entre os sete Millennium Prize Problems. O desafio que a OpenAI resolveu foi determinar se soluções suaves das equações tridimensionais desenvolvem velocidades ou outras grandezas que divergem em tempo finito.
De onde vem as equações de Navier-Stokes?
As equações de Navier-Stokes vêm diretamente da segunda lei de Newton, aplicada a uma partícula de um fluido. A ideia é simples: a aceleração dessa partícula deve ser determinada pela soma das forças que atuam sobre ela, como pressão, viscosidade e forças externas.
A aceleração possui duas componentes principais: a aceleração local e a aceleração convectiva, causada pelo movimento da partícula para uma região onde a velocidade é diferente. É essa segunda componente que introduz a não linearidade das equações, fazendo com que o próprio escoamento altere sua evolução.
Termo não-linear
Com isso, essa não linearidade cria uma realimentação: regiões mais rápidas podem modificar o campo de velocidades e que por sua vez altera o transporte subsequente. Pequenas diferenças no campo de velocidade podem ser amplificadas pela dinâmica, tornando a evolução do sistema muito mais difícil de analisar.
Esse comportamento é importante em três dimensões, onde o escoamento pode desenvolver vórtices, alongá-los e transferir energia entre diferentes escalas. A energia introduzida em grandes estruturas pode ser redistribuída para escalas progressivamente menores.
Difusão
Outro termo importante e que atua de forma quase oposta é o termo de difusão que representa o efeito da viscosidade. Em um escoamento, a viscosidade atua reduzindo gradientes de velocidade e tende a suavizar variações espaciais, dissipando energia cinética em escalas menores.
Esse termo compete diretamente com a não linearidade convectiva. Enquanto o termo de advecção acaba concentrando estruturas, gerando gradientes mais intensos e transferindo energia entre escalas, a viscosidade tem a tendência de espalhar essas variações e dissipar energia.
O papel da pressão
Já o termo de gradiente de pressão representa a força por unidade de volume associada às diferenças de pressão dentro do fluido. Uma partícula de fluido tende a ser acelerada de regiões de maior pressão para regiões de menor pressão, fazendo com que esse termo determine parte da evolução do campo de velocidades.
A pressão não é simplesmente uma variável independente que evolui como a velocidade, mas funciona como uma espécie de campo de restrição. Em escoamentos turbulentos, pequenas variações de pressão podem ainda interagir com o campo de velocidade e influenciar a formação e a evolução de vórtices.